Bruchrechner mit Rechenweg

Ein Bruchrechner, der den Rechenweg zeigt

Dieser Bruchrechner addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert zwei Brüche, auch gemischte Zahlen und negative Zahlen. Das Ergebnis erscheint dreifach: vollständig gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl. Darunter steht der komplette Rechenweg, so wie er im Heft stehen sollte: gleichnamig machen, multiplizieren, Kehrwert bilden, kürzen. Schülerinnen und Schüler können ihre Hausaufgaben Zeile für Zeile prüfen, Eltern sehen vor der Nachhilfe, wie es heute gerechnet wird.

Gerechnet wird mit exakten ganzen Zahlen: keine Rundungsfehler, auch nicht bei fünfzehnstelligen Werten.

So funktioniert es

1. Wählen Sie einen Reiter: „Rechnen“, „Kürzen“, „Dezimalzahl → Bruch“, „Vergleichen“ oder „Term“.
2. Unter „Rechnen“ den Zähler über den Bruchstrich und den Nenner darunter eintippen, dann +, −, × oder ÷ wählen. Das Feld „Ganze“ ist für gemischte Zahlen wie 2 1/3.
3. Das Ergebnis erscheint schon beim Tippen, darunter der „Rechenweg“. „Ergebnis kopieren“ übernimmt alles als Text.
4. Die Knöpfe unter „Beispiele“ füllen die Felder aus. Die letzte Eingabe bleibt auf Ihrem Gerät gespeichert.

Die Begriffe

Bei 3/4 ist die obere Zahl der Zähler: Er zählt die Teile, die man hat. Die untere Zahl ist der Nenner: Er nennt, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt wird. Ein Nenner darf nie 0 sein, der Rechner weist darauf hin.

Brüche kürzen

Beim Brüche kürzen teilt man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Am schnellsten geht es mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der Reiter „Kürzen“ findet ihn mit dem euklidischen Algorithmus. Für 84/126: 126 = 1 × 84 + 42, dann 84 = 2 × 42 + 0. Der ggT ist 42, also 84/126 = 2/3. Lässt sich nichts mehr kürzen, ist der Bruch vollständig gekürzt.

Brüche addieren und subtrahieren

Bei gleichen Nennern addiert man die Zähler und behält den Nenner: 1/4 + 2/4 = 3/4. Bei verschiedenen Nennern muss man die Brüche erst gleichnamig machen, also auf den Hauptnenner erweitern. Der Rechner nimmt dafür das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Für 3/4 − 5/6 ist das kgV von 4 und 6 gleich 12: 3/4 = 9/12 und 5/6 = 10/12, also 9/12 − 10/12 = −1/12. Genauso gilt beim Brüche addieren: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Multiplizieren und dividieren

Beim Multiplizieren rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2.

Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, also Zähler und Nenner vertauscht: 5/6 : 10/9 = 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4.

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus Ganzen und einem Bruch, etwa 1 1/2 („eineinhalb“). Zum Rechnen wandelt man sie in einen unechten Bruch um: 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3. Damit ist 2 1/3 + 1 3/4 = 7/3 + 7/4 = 28/12 + 21/12 = 49/12 = 4 1/12. Zurück geht es mit einer Division mit Rest: 49 : 12 = 4 Rest 1.

Brüche und Dezimalzahlen

Aus einem Bruch wird eine Dezimalzahl, wenn man den Zähler durch den Nenner teilt: 3/2 = 1,5. Manchmal geht die Division nie auf, und eine Ziffernfolge wiederholt sich: die Periode. Der Rechner erkennt sie und setzt sie in Klammern: 1/3 = 0,(3) und 1/7 = 0,(142857). Im Schulbuch steht dafür ein Strich über den Ziffern.

Der Reiter „Dezimalzahl → Bruch“ rechnet umgekehrt. 0,125 = 125/1000 = 1/8. Bei einer periodischen Zahl die Periode in Klammern eingeben: 0,(3) ergibt 1/3, 0,1(6) ergibt 1/6. Der angezeigte Weg: 100x = 16,(6) und 10x = 1,(6), also 90x = 15 und x = 15/90 = 1/6.

Tipps

• Zum Vergleichen macht man Brüche gleichnamig: 3/4 = 9/12 ist kleiner als 5/6 = 10/12. Das erledigt der Reiter „Vergleichen“.
• Im Reiter „Term“ gilt Punkt vor Strich: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4. Als Geteiltzeichen sind ÷ und : erlaubt.
• Zwischendurch kürzen hält die Zahlen klein und spart Fehler.

Häufige Fragen

Wie gebe ich eine negative gemischte Zahl ein?

Das Minus ins Feld „Ganze“ schreiben: −2 mit 1 über 3 ergibt −2 1/3, also −7/3.

Warum ist das Ergebnis manchmal ein unechter Bruch?

Ein Bruch größer als 1, etwa 3/2, heißt unechter Bruch. Der Rechner zeigt ihn so an und zusätzlich als gemischte Zahl (1 1/2) und als Dezimalzahl (1,5).

Was bedeuten die Klammern in 0,(3)?

Sie umschließen die Ziffern, die sich endlos wiederholen: 0,(3) heißt 0,3333… Gesprochen: „null Komma Periode drei“.

Stimmen die Ergebnisse auch bei sehr großen Zahlen?

Ja. Der Rechner arbeitet mit exakten ganzen Zahlen und rundet nie: 123456789/987654321 wird durch 9 gekürzt zu 13717421/109739369.