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ggT und kgV berechnen mit Rechenweg

Zahlen durch Kommas, Leerzeichen oder Semikolons trennen, ohne Leerzeichen innerhalb einer Zahl. Bis zu 60 Stellen pro Zahl.

ggT (größter gemeinsamer Teiler)— kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)—

Beispiele

Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, mit exakten ganzen Zahlen: Es wird nichts übertragen.

ggT und kgV berechnen, mit vollständigem Rechenweg

Mit diesem Rechner können Sie den ggT berechnen (größter gemeinsamer Teiler) und das kgV berechnen (kleinstes gemeinsames Vielfaches), und zwar für 2 bis 10 ganze Zahlen. Neben dem Ergebnis zeigt er den euklidischen Algorithmus Zeile für Zeile, die Primfaktorzerlegung mit markierten gemeinsamen Faktoren und auf Wunsch das Subtraktionsverfahren, die Teilermengen und das Lemma von Bézout. So lassen sich Hausaufgaben der Sekundarstufe nachrechnen und verstehen.

So funktioniert der Rechner

  1. Geben Sie unter „Ganze Zahlen (2 bis 10)“ Ihre Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Semikolons, zum Beispiel 126, 90.
  2. Die Felder „ggT (größter gemeinsamer Teiler)“ und „kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)“ füllen sich sofort. Darunter steht, ob die Zahlen teilerfremd sind.
  3. Mit „Subtraktionsverfahren“, „Teilermengen“ oder „Lemma von Bézout“ kommen weitere Verfahren in den „Rechenweg“. „Primfaktorzerlegung“ ist bereits angehakt.
  4. „Ergebnis kopieren“ übernimmt Ergebnis und Rechenweg in die Zwischenablage.

Jede Zahl darf bis zu 60 Stellen haben; gerechnet wird mit exakten ganzen Zahlen, ohne Rundung.

Drei Wege zum ggT

Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide teilt. Das kgV ist die kleinste von 0 verschiedene Zahl, die Vielfaches von beiden ist. Beispiel: 126 und 90.

Teilermengen. T(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}. Davon teilen auch 126: 1, 2, 3, 6, 9 und 18. Also ist ggT(126, 90) = 18. Das klappt gut bei kleinen Zahlen.

Euklidischer Algorithmus. Man teilt die größere durch die kleinere Zahl: 126 = 1 × 90 + 36. Dann den Divisor durch den Rest: 90 = 2 × 36 + 18. Dann 36 = 2 × 18 + 0. Der Rest ist 0, also ist der letzte Divisor, 18, der ggT.

Primfaktorzerlegung. 126 = 2 × 3² × 7 und 90 = 2 × 3² × 5. Für den ggT nimmt man die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten: 2 × 3² = 18. Für das kgV alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten: 2 × 3² × 5 × 7 = 630.

Für zwei Zahlen gilt immer ggT × kgV = a × b: 18 × 630 = 11.340 = 126 × 90. Der Rechner zeigt das in der Zeile „Probe“.

Wofür braucht man ggT und kgV?

  • Brüche kürzen: Zähler und Nenner durch den ggT teilen. 90/126 wird mit 18 gekürzt zu 5/7.
  • Hauptnenner finden: Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner. Für 5/12 + 3/8 ist kgV(12, 8) = 24, also 10/24 + 9/24 = 19/24.
  • Aufteilen ohne Rest: Ein Bäcker hat 126 Brötchen und 90 Brezeln und möchte möglichst viele gleiche Tüten packen. Es werden 18 Tüten mit je 7 Brötchen und 5 Brezeln.

Mit „Lemma von Bézout“ findet der Rechner zusätzlich ganze Zahlen u und v mit 126u + 90v = 18, hier u = −2 und v = 3, über den erweiterten euklidischen Algorithmus in Tabellenform.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den ggT von drei oder mehr Zahlen?

Man bestimmt den ggT der ersten beiden Zahlen, dann den ggT dieses Ergebnisses mit der dritten Zahl und so weiter. Für 12, 18 und 30: ggT(12, 18) = 6, dann ggT(6, 30) = 6. Beim kgV genauso: kgV(12, 18) = 36, dann kgV(36, 30) = 180.

Was bedeutet „teilerfremd“?

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Das gilt etwa für 25 und 36, obwohl keine der beiden eine Primzahl ist. Ihr kgV ist dann einfach ihr Produkt, 900.

Was passiert mit 0 und negativen Zahlen?

Jede ganze Zahl teilt 0, daher ist ggT(0, 15) = 15 und das kgV ist 0. Der ggT von zwei Nullen ist nicht definiert; der Rechner weist darauf hin. Minuszeichen werden ignoriert, weil ggT und kgV mit den Beträgen berechnet werden.