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Quadratische Gleichung lösen mit Rechenweg

Ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche: 2, −0,5 oder 1/2. Ein leeres Feld zählt als 0.

Lösungen —
Beispiele

Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, mit exakten Zahlen: Es wird nichts gesendet.

Quadratische Gleichungen lösen, Schritt für Schritt

Mit diesem Rechner können Sie jede quadratische Gleichung lösen, die sich in die Form ax² + bx + c = 0 bringen lässt. Er berechnet die Diskriminante, gibt die exakten Lösungen als gekürzte Brüche und vereinfachte Wurzeln an und dazu die Näherungswerte. Außerdem zeigt er die Scheitelpunktform, den Scheitelpunkt, die Linearfaktorform, Summe und Produkt der Lösungen und zeichnet die Parabel.

Der Rechenweg erscheint zweimal: einmal mit der Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) und einmal mit der pq-Formel. So können Sie Ihre Hausaufgabe mit der Methode vergleichen, die in Ihrer Klasse verwendet wird.

So funktioniert der Rechner

  1. Unter „Koeffizienten a, b, c“ die drei Zahlen eintragen: ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/2. Ein leeres Feld zählt als 0.
  2. Oder „Gleichung eintippen“ wählen und die Gleichung so schreiben, wie sie im Buch steht, etwa 3x^2 = 2x + 1. Der Rechner bringt alles nach links: 3x² − 2x − 1 = 0.
  3. Die Lösungen erscheinen sofort. Darunter stehen „Rechenweg mit der Mitternachtsformel“ und „Rechenweg mit der pq-Formel“. Mit „Vorzeichentabelle anzeigen“ kommt eine Vorzeichentabelle dazu.
  4. „Ergebnis kopieren“ kopiert alles als Text. Die letzte Eingabe bleibt auf Ihrem Gerät gespeichert.

Die Mitternachtsformel

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante, D = b² − 4ac. Ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

  • D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen.
  • D = 0: eine doppelte Lösung, x = −b / (2a). Die Parabel berührt die x-Achse.
  • D < 0: keine reelle Lösung. Für x² + x + 1 = 0 ist D = −3; der Rechner gibt zusätzlich die komplexen Lösungen −1/2 ± (√3/2)i an.

Die pq-Formel

Teilt man die Gleichung durch a, erhält man die Normalform x² + px + q = 0 mit p = b/a und q = c/a. Dann gilt:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Beispiel: x² − 6x + 8 = 0, also p = −6 und q = 8. x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, also x₁ = 2 und x₂ = 4.

Ein vollständiges Beispiel

Gesucht sind die Lösungen von 2x² + 4x − 6 = 0, mit a = 2, b = 4 und c = −6.

  1. Mitternachtsformel: D = 4² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64, √64 = 8. x₁ = (−4 − 8) / 4 = −3 und x₂ = (−4 + 8) / 4 = 1.
  2. pq-Formel: Durch 2 teilen ergibt x² + 2x − 3 = 0, also p = 2 und q = −3. x₁,₂ = −1 ± √(1 + 3) = −1 ± 2, also wieder −3 und 1.
  3. Probe: 2 · 1² + 4 · 1 − 6 = 0.

Ist D keine Quadratzahl, bleibt das Ergebnis exakt: Für x² − 3x + 1 = 0 ist D = 5, die Lösungen sind (3 − √5)/2 ≈ 0,382 und (3 + √5)/2 ≈ 2,618. Bei x² − 12 = 0 wird teilweise die Wurzel gezogen: √48 = √(16 · 3) = 4√3, also x = ±2√3.

Scheitelpunktform und Scheitelpunkt

Durch quadratische Ergänzung wird jede Funktion zu a(x − α)² + β mit α = −b / (2a) und β = −D / (4a). Der Scheitelpunkt ist S(α | β). Im Beispiel gilt 2x² + 4x − 6 = 2(x + 1)² − 8, also S(−1 | −8). Ebenso ist 2x² − 4x + 1 = 2(x − 1)² − 1.

Linearfaktorform und Satz von Vieta

Bei D > 0 lautet die Linearfaktorform a(x − x₁)(x − x₂), hier 2(x + 3)(x − 1). Bei D < 0 gibt es keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. Nach dem Satz von Vieta gilt x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a: −3 + 1 = −2 und −3 · 1 = −3. Damit lässt sich jedes Ergebnis schnell prüfen.

Was die Parabel zeigt

Die Lösungen sind die Nullstellen der Parabel y = ax² + bx + c. Der Rechner markiert sie rot und zeigt den Scheitelpunkt. Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten. Daraus folgt die Vorzeichentabelle: Außerhalb der Nullstellen hat f(x) das Vorzeichen von a, dazwischen das umgekehrte.

Häufige Fragen

Mitternachtsformel oder pq-Formel: Welche ist besser?

Beide liefern dieselben Lösungen. Die pq-Formel setzt a = 1 voraus, sonst muss man erst durch a teilen. Die Mitternachtsformel geht direkt, ist aber etwas länger. Der Rechner zeigt beide Wege.

Was passiert bei a = 0?

Dann ist die Gleichung linear, bx + c = 0, und wird trotzdem gelöst: 2x + 4 = 0 ergibt x = −2. Ist auch b = 0, gibt es bei c ≠ 0 keine Lösung und bei c = 0 unendlich viele.

Kann ich Brüche und Dezimalzahlen eingeben?

Ja. 0,5 wird als 1/2 gelesen, gerechnet wird exakt. Für (1/2)x² − x − 4 = 0 ist D = 9, die Lösungen sind −2 und 4.

Wie tippe ich die Gleichung ein?

Schreiben Sie x^2 oder x², für das Malzeichen * oder nichts: 2x^2 - 3x + 1 = 0. Terme dürfen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen, Klammern sind erlaubt.