Dreieck berechnen: rechtwinklig und allgemein

Ein Dreieck aus bekannten Werten berechnen

Dieser Dreiecksrechner ergänzt alle fehlenden Maße. Beim rechtwinkligen Dreieck reichen zwei Werte, bei jedem anderen Dreieck braucht es drei. Du erhältst Seiten, Winkel in Grad und im Bogenmaß, Fläche, Umfang und Höhen. Das Dreieck wird maßstabsgetreu gezeichnet und jede verwendete Formel steht im Rechenweg: ideal, um eine Hausaufgabe nachzuvollziehen oder ein Maß auf der Baustelle zu prüfen.

So funktioniert es

1. Wähle den Reiter „Rechtwinkliges Dreieck“, „Beliebiges Dreieck“ oder „Ist es rechtwinklig?“.
2. Beim rechtwinkligen Dreieck füllst du zwei Felder aus „Kathete a“, „Kathete b“, „Hypotenuse c“ und den Winkeln α und β aus, davon mindestens eine Seite. Der rechte Winkel γ liegt bei C.
3. Beim beliebigen Dreieck füllst du drei Felder aus, davon mindestens eine Seite. Winkel α liegt gegenüber a, β gegenüber b, γ gegenüber c.
4. Lies das Ergebnis, die Skizze und den „Rechenweg“.

Satz des Pythagoras und Winkelfunktionen

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate: c² = a² + b². Mit a = 3 und b = 4 gilt c = √25 = 5. Der Winkel α ist arctan(3 ÷ 4) ≈ 36,8699°, β = 90° − α ≈ 53,1301°. Die Fläche beträgt a × b ÷ 2 = 6, der Umfang 12 und die Höhe auf die Hypotenuse a × b ÷ c = 2,4.

Mit einer Seite und einem Winkel helfen Sinus, Kosinus und Tangens: a = c × sin α und b = c × cos α. Für c = 10 und α = 30° ergibt sich a = 5 und b ≈ 8,6603.

Allgemeines Dreieck: Kosinussatz, Sinussatz und Heron

Der Rechner erkennt den Fall selbst: SSS, SWS, WSW, SWW oder SsW. Der Kosinussatz, a² = b² + c² − 2bc cos α, liefert Winkel aus Seiten; der Sinussatz, a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ, die fehlenden Seiten. Die Fläche kommt aus dem Satz des Heron, √(s(s − a)(s − b)(s − c)), mit s als halbem Umfang.

Beispiel: Die Seiten 7, 8 und 9 ergeben s = 12 und eine Fläche von √720 ≈ 26,8328. Die Winkel α, β und γ messen etwa 48,1897°, 58,4119° und 73,3985°.

Der Fall SsW kann mehrdeutig sein. Mit a = 8, b = 10 und α = 40° ist sin β ≈ 0,8035, also β = 53,4641° oder 126,5359°, und c misst 12,4230 oder 2,8978. Der Rechner zeigt beide Dreiecke und legt sie in der Skizze übereinander.

Anwendungen im Alltag

• Leiter an der Wand: Eine 4 m lange Anlegeleiter unter 75° reicht 4 × sin 75° ≈ 3,8637 m hoch, ihr Fuß steht 1,0353 m von der Wand entfernt.
• Raumdiagonale im Grundriss: Ein Zimmer von 5 m mal 3,5 m hat eine Diagonale von √37,25 ≈ 6,1033 m.
• Bildschirmdiagonale: Ein Fernseher mit 55 Zoll (139,7 cm) im Format 16:9 ist etwa 121,76 cm breit und 68,49 cm hoch.
• Rechter Winkel mit 3-4-5 auf dem Bau: Beim Schnurgerüst oder Fundament misst man 3 m auf der einen und 4 m auf der anderen Schnur ab; die Diagonale muss 5 m betragen. Misst sie 5,02 m, zeigt der Reiter „Ist es rechtwinklig?“ eine Abweichung von 0,4 % und einen Winkel von 90,4784°, was mit der voreingestellten „Toleranz (%)“ von 0,5 als rechtwinklig gilt.

Häufige Fragen

Wie prüfe ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Ist das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen, ist das Dreieck rechtwinklig. Bei 5, 12 und 13 gilt 169 = 25 + 144, also ja.

Wie berechne ich die Hypotenuse?

Beide Katheten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen: √(6² + 8²) = √100 = 10.

Warum gibt es bei SsW manchmal zwei Lösungen?

Die Seite gegenüber dem bekannten Winkel kann den anderen Schenkel des Winkels in zwei Punkten treffen. Ist sie zu kurz, gibt es kein Dreieck.

Werden meine Werte gespeichert?

Ja, nur auf diesem Gerät. „Alles löschen“ entfernt sie.